二维r.v （联合）分布函数¶
定义：对于任意的实数\(x,y\) ，二元函数\(F(x,y)=P\left\{(X\leq x)\cap(Y\leq y)\right\}\) 称为二维r.v\((X,Y)\)的分布函数（联合分布函数）
若将 \((X, Y)\) 看成平面上随机点的坐标, 则分布函数\(F(x, y)\)的值为 \((X, Y )\)落在阴影部分的概率
则随机点落在矩形区域\([x_{1}\leq X\leq x_{2}\cap y_{1}<Y\leq y_{2}]\)的概率为 $$ F(x_{2},y_{2})-F(x_{1},y_{1})-F(x_{2},y_{1})+F(x_{1},y_{1}) $$ 可由容斥原理 证明，图像直观理解
二维联合分布函数与一维情况性质类似
二维离散型r.v的分布¶
二维离散型的分布律¶
若二维r.v.\((X,Y)\)的所有可能取值是有限或可列多对，则称\((X,Y)\)为二维离散型r.v. 记作\(P(X=x_{i},Y=y_{j})=p_{ij}\), \(i,j=1,2,3,\cdots\) 分布律满足 $$ p_{ij}>0 $$ $$ \sum {i}\sum {j}p_{ij}=1 $$
二维离散型r.v的分布函数¶
若已知r.v\((X,Y)\)的分布律，如何确定分布函数？ $$ F(X,Y)=\sum_{\substack{x_{i}\leq x\y_{j}\leq y}}p_{ij} $$
二维连续性r.v的分布¶
联合概率密度¶
定义：若对二维随机变量\((X,Y)\)的分布函数\(F(x,y)\)，存在非负函数\(f(x,y)\)，\(\forall x,y\) 有 $$ F(x,y)=\int_{-\infty}y\int_{-\infty}xf(u,v)dudv $$ 则称\((X,Y)\)是连续型的二维\(\mathrm{r.v.}\)，其中函数\(f(x,y)\)称为\((X,Y)\)的联合概率密度
若\(f(x,y)\)在点\((x,y)\)处连续，则有 $$ \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y) $$ 注: 二维连续型\(r.v. (X, Y)\) 落在平面 \(G\)上概率，就等于密度函数 \(f(x, y)\) 在 \(G\) 上的积分，这就将概率的计算转化为一个二重积分的计算了. $$ P{(X,Y)\in G}=\iint _{G}f(x,y)dxdy $$
边缘分布¶
边缘分布函数¶
二维r.v. \((X,Y)\)作为整体有分布函数，而\(X\)和\(Y\)也分别都有分布函数。记为边缘分布函数\(F_{X}(x),F_{Y}(y)\)
$$ F_{X}(x)=P{X\leq x}=F(x,+\infty) $$ 同理，\(F_{Y}(y)=F(+\infty,y)\)
边缘分布律¶
二维离散型类似定义。 $$ P{X=x_{i}}=\sum_{j}p_{ij} $$ 直观理解：求边缘分布律，就是确定一个\(x_i\)后，将所有\(x_{i}\)情况加起来，故对\(y\)意义上的\(j\)做累加。 ![[Pasted image 20241224105626.png|400]]
边缘概率密度¶
设二维连续性r.v.\((X,Y)\)的概率密度为\(f(x,y)\)，\(X,Y\)的概率密度\(f_{X}(x),\;f_{Y}(y)\)分别称为\((X,Y)\)关于\(X,Y\)的边缘概率密度
e.g. ![[Pasted image 20241224110245.png|500]]
二维随机变量函数的分布¶
普通定义¶
若\(Z=g(X,Y)\)，其中\(g\)是一个性质足够好的函数，使得\(Z\)仍然是一个随机变量。 那么 \(Z\) 的分布函数 \(F_{Z}\) 满足 在给出的 \(g(x,y)\) 并不是简单的四则运算函数时，往往需要先求出 \(F_{Z}(z)\) 再去求导求出 \(f_{Z}(z)\)
此公式推广： 如果 \(X,Y\) 相互独立，那么有 \(f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x)\cdot f_{Y}(z-x) \, dx\)，称为卷积公式 记作： $$ f_{X}*f_{Y}=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x)\cdot f_{Y}(z-x) \, dx=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(z-y)\cdot f_{Y}(y) \, dy $$
卷积是一种定义在内积空间上的运算，在线性代数课程中应该接触过。矩阵的卷积在神经网络中也有过应用。 卷积这个名字很有意思。“卷”可以理解为将 \(g(x)\) 卷到数轴的另一侧 \(g(z-x)\)，积则是和 \(f(x)\) 的乘积做积分起来。这种函数变换有着广泛的应用，例如信号与系统等...
-
\(Z=\dfrac{Y}{X}\) $$ f_{\frac{Y}{X}}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} {|x|}f(x,zx) \, dx
$$ to prove it, first consider its CDF(Cumulative Distribution Function), then use Newton-Leibniz theorem to get PDF. you need to introduce \(u\), and let \(y=ux\) to turn integration' s upper bound into a single- \(z\)， which make it easy for you to exchange the integration order. -
\(Z=XY\) $$ f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|x|}{f\left( x,{\frac{z}{x}} \right)} \, dx $$ you may wondering why for latter two funtion, we get a \(abs(x),|x|\) in it? that is because function \(g(x,y)\) in latter two expands more than one area in \(\mathbb{R}^2\) so to do integration in that area, you must argue over quadrant-1 and quadrant-3, and find they can be concluded to one function, if we introduce \(|x|\) here.
注意：在确定真正积分过程中的上下界的时候，需要根据 \(f(x,y)\) 的具体取值，列如下的不等式组 $$ \begin{cases} x\text{ fit one equation} \ y=f(z,x)\text{ fit another one} \end{cases} $$
取 min 取 max 函数¶
Let \(M=max(X,Y)\), \(N=min(X,Y)\), and \(X,Y\) is independent
二维r.v.独立性¶
定理：相互独立的充要条件¶
如果\((X,Y)\)是二维连续型随机变量，则\(X，Y\)相互独立的充要条件是:在\(f(x,y)\)的连续点\((x,y)\)处 $$ f(x,y)=f_{X}(x)\\cdot f_{Y}(y) $$
条件分布¶
对离散型而言¶
$$ P{X=x_{i}|Y=y_{j}}=\frac{p_{ij}}{p_{.j}},\;i=1,2,\dots $$ 是在\(Y=y_{j}\)条件下r.v.\(X\)的分布律 同样的， $$ P{Y=y_{j}|X=x_{i}}=\frac{p_{ij}}{p_{i.}},\;i=1,2,\dots $$ 是在\(X=x_{i}\)条件下r.v.\(Y\)的分布律 where $$ \begin{align} &p_{.j}=P(Y=y_{i}) \ &p_{i.}=P(X=x_{i}) \end{align} $$ 这就是条件分布律。